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Modelli di sistemi dinamici

Teoria ed esercizi nell'ordine della dispensa di Automatica: che cos'è un modello, che cos'è lo stato, la forma ingresso-stato-uscita, la funzione di trasferimento e l'algebra degli schemi a blocchi. Due video brevi e sei esercizi svolti a mano, ciascuno con il codice MATLAB per controllare il risultato.

Video 1: la teoria dei modelli

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5 min 17 s: dalla definizione di modello agli schemi a blocchi, nell'ordine della dispensa

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Benvenuti su Zerospoles. In questa lezione vediamo la teoria dei modelli di sistemi dinamici, nell'ordine della dispensa di Automatica. Partiamo da che cos'è un modello e dallo stato. Poi vediamo la forma ingresso stato uscita, e infine la funzione di trasferimento con gli schemi a blocchi. Gli esercizi svolti sono nel secondo video e nella stessa pagina del sito.

Che cos'è un modello

Un sistema è un insieme di componenti interconnessi che si comportano come un'unica entità. È dinamico quando evolve nel tempo. Il modello è la descrizione formale, cioè matematica, del sistema.

Tre approcci

Ci sono tre modi di costruire un modello. Il primo è sperimentale: il sistema è una scatola nera, si applicano ingressi noti, si misurano le uscite e si trova una relazione per interpolazione. È semplice, ma i parametri raramente hanno un significato fisico. Il secondo è analitico: conosci i componenti e i collegamenti, scrivi il modello dalle loro leggi e poi lo validi con delle misure. Il terzo è pragmatico: prima progetti il modello, lo verifichi in simulazione, e solo dopo costruisci il sistema fisico. In ogni caso si parte da un modello semplice, e lo si complica solo se serve.

Ingressi, uscite, disturbi

Per costruire un modello vanno definiti i confini del sistema, gli ingressi e le uscite. Gli ingressi indesiderati e non controllabili, come il vento per un aereo, si chiamano disturbi, e vanno tenuti in conto.

Lo stato

Conoscere l'ingresso non basta per sapere l'uscita. Nell'orologio ad acqua, l'altezza del galleggiante dipende anche dall'altezza iniziale. Lo stato è la minima informazione necessaria, insieme all'ingresso, per determinare l'uscita. In parole povere, lo stato è la memoria del sistema.

La macchina a gettoni

Un esempio a tempo discreto è la macchina a gettoni. Accetta monete da cinquanta centesimi, uno e due euro, ed eroga il bene quando ha ricevuto due euro. Gli stati sono quattro: zero, nessuna moneta; A, cinquanta centesimi; B, un euro; C, un euro e cinquanta. Dallo stato C, una moneta da cinquanta centesimi porta all'erogazione. Con ingressi e uscite finiti è un automa, e se anche gli stati sono finiti si chiama macchina a stati finiti.

L'integratore

Per i sistemi continui l'elemento di base è l'integratore. Prendiamo un serbatoio di sezione A, con una portata u in ingresso: A per la derivata dell'altezza è uguale a u. Se chiamiamo stato l'altezza, la derivata dello stato è uno su A per l'ingresso. Un condensatore alimentato da una corrente ha la stessa struttura: C per la derivata della tensione è uguale alla corrente. E anche la legge di Newton: massa per la derivata della velocità è uguale alla forza. Cambiano i nomi, non la matematica. Questo elemento comune è l'integratore, che nello schema a blocchi si scrive uno su s.

Sistemi continui lineari

La rappresentazione più usata per un sistema lineare è la forma ingresso stato uscita: x punto uguale A x più B u, e y uguale C x più D u. Il numero di stati, n, è l'ordine del modello. La matrice A collega lo stato a se stesso e decide la stabilità. B collega gli ingressi agli stati, C collega gli stati all'uscita. La matrice D è il collegamento diretto tra ingresso e uscita. Nei sistemi fisici di solito è nulla, perché l'uscita non risponde mai istantaneamente all'ingresso.

Controllabilità e osservabilità

La coppia A, B dice se il sistema è controllabile, cioè se con l'ingresso si può guidare lo stato. La coppia A, C dice se lo stato è osservabile, cioè se si può ricostruire dalle uscite. Insieme, le quattro matrici descrivono il sistema.

Esempi di modelli

Vediamo quattro esempi. Il partitore resistivo ideale non ha dinamica né memoria: A, B e C sono nulle, e D vale R due diviso R uno più R due. Se aggiungiamo elementi parassiti, un'induttanza e un condensatore, il modello diventa dinamico: ha due stati, la corrente e la tensione. Un corpo spinto bruciando combustibile perde massa: il modello è tempovariante, perché la matrice B dipende dal tempo. Infine il serbatoio con efflusso: per la legge di Torricelli la portata in uscita è k per la radice di h, e il modello diventa non lineare.

Funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento è il rapporto tra uscita e ingresso nella variabile operatoriale s. Dal modello di stato si ricava con la formula: G di s uguale a C per l'inversa di s I meno A, per B, più D. È il ponte tra la forma di stato e la trasformata di Laplace.

Cascata e parallelo

Gli schemi a blocchi si semplificano con poche regole. Due blocchi in cascata si moltiplicano: C per G. Due blocchi in parallelo si sommano: A più B.

Retroazione

Con la retroazione negativa, y è G per e, ed e è r meno H per y. Risolvendo, y diviso r è uguale a G diviso uno più G per H. Al numeratore c'è il prodotto dei blocchi in catena diretta. Al denominatore, uno più il guadagno d'anello, cioè il prodotto di tutti i blocchi dell'anello. Con la reazione positiva il denominatore diventa uno meno G per H.

Riepilogo

Ricapitolando: il modello è la descrizione formale di un sistema, lo stato è la sua memoria, e la forma ingresso stato uscita porta alla funzione di trasferimento. Nel secondo video svolgiamo gli esercizi. Grazie, e alla prossima su Zerospoles.

Teoria nell'ordine della dispensa

1. Che cos'è un modello

Un sistema è un insieme di componenti interconnessi che si comportano come un'unica entità. È dinamico se evolve nel tempo. Il modello è la descrizione formale, cioè matematica, del sistema.

Ci sono tre modi di costruirlo:

  1. Sperimentale (induttivo). Il sistema è una scatola nera: si applicano ingressi noti, si misurano le uscite e si trova una relazione per interpolazione. Il modello è semplice, ma i parametri non hanno quasi mai un significato fisico. Esempio: misuri tensione e corrente su un componente, vedi che sono proporzionali e concludi che è un resistore (legge di Ohm).
  2. Analitico (deduttivo). Conosci i componenti e i collegamenti, scrivi il modello dalle loro leggi e lo validi con misure. Esempio: una rete di resistori di cui calcoli la resistenza equivalente.
  3. Pragmatico. Prima progetti il modello, lo verifichi in simulazione e solo dopo costruisci il sistema fisico che lo realizza.

Per costruire un modello vanno definiti i confini del sistema, gli ingressi, le uscite e le relazioni tra ingressi, uscite e parti interne. Gli ingressi non desiderati e non controllabili, come il vento per un aereo, si chiamano disturbi. Si parte da un modello semplice e lo si complica solo se serve descrivere fenomeni più complessi.

2. Lo stato e l'integratore

Conoscere l'ingresso non basta per sapere l'uscita. Nell'orologio ad acqua di Ctesibio l'altezza del galleggiante dipende anche dall'altezza iniziale. Lo stato è la minima informazione necessaria, insieme all'ingresso, per determinare l'uscita: è la memoria del sistema.

Esempio: la macchina a gettoni

Accetta monete da 50 centesimi, 1 euro e 2 euro e eroga il bene quando ha ricevuto 2 euro. Gli stati sono quattro: 0 (nessuna moneta), A (50 cent), B (1 euro), C (1,5 euro). Dallo stato C, una moneta da 50 cent porta all'erogazione. Con ingressi e uscite finiti è un automa, e con stati finiti una macchina a stati finiti.

Per i sistemi continui l'elemento di base è l'integratore. Tre fenomeni diversi hanno la stessa struttura:

SistemaLeggeStatoForma di stato
Serbatoio, sezione AA·h = u(t)altezza hx = 1A·u
Condensatore, capacità CC·V = i(t)tensione Vx = 1C·i
Newton, massa mm·v = F(t)velocità vx = 1m·F

Cambiano i nomi, non la matematica: la derivata dello stato è una costante per l'ingresso. Questo elemento comune è l'integratore, che nello schema a blocchi si scrive come 1s.

3. Sistemi continui lineari

La forma più usata per un sistema lineare è la rappresentazione ingresso-stato-uscita:

x = A·x + B·u     y = C·x + D·u

Con r ingressi, n stati e m uscite, le matrici sono A di dimensione n×n, B di n×r, C di m×n e D di m×r. Il numero n è l'ordine del modello.

  1. A collega lo stato a se stesso e ne decide la stabilità.
  2. B collega gli ingressi agli stati, C collega gli stati all'uscita.
  3. D è il collegamento diretto ingresso-uscita. Nei sistemi fisici di solito è nulla: l'uscita non risponde mai istantaneamente all'ingresso (sistema strettamente causale).
  4. La coppia [A, B] dice se il sistema è controllabile, la coppia [A, C] se lo stato è osservabile dall'uscita.

4. Esempi di modelli

  1. Algebrico ideale: il partitore resistivo. y = R2R1 + R2·u. Non c'è dinamica né memoria: A = B = C = 0 e D = R2R1 + R2.
  2. Algebrico reale, con elementi parassiti. Con un'induttanza in serie e un condensatore in parallelo il partitore diventa dinamico e vale per ingressi che variano in fretta. L'esercizio 2 lo svolge.
  3. Tempovariante. Un corpo spinto bruciando combustibile perde massa: M(t)·x = u quindi x = B(t)·u. In generale x = A(t)·x + B(t)·u: più difficile da studiare di un modello stazionario.
  4. Non lineare. Un serbatoio con efflusso: per la legge di Torricelli la portata in uscita è y = k·√h, quindi h = u − k·√hA(h). L'esercizio 5 lo svolge.

5. Funzione di trasferimento e schemi a blocchi

La funzione di trasferimento è il rapporto tra uscita e ingresso nella variabile operatoriale s: F(s) = uscitaingresso. Dal modello di stato si ricava con G(s) = C·(sI − A)−1·B + D. Gli schemi a blocchi si semplificano con poche regole.

CGruy=C·G

Cascata. I blocchi si moltiplicano: C·G.

AB+ry=A + B

Parallelo. I blocchi si sommano: A + B.

+−GHrey=G / (1+GH)

Retroazione negativa. Da y = G·e = G·(r − H·y) si ottiene y·(1 + G·H) = G·r, quindi

yr = G1 + G·H

Al numeratore c'è il prodotto dei blocchi in catena diretta, al denominatore 1 più il guadagno d'anello, cioè il prodotto di tutti i blocchi dell'anello. Con reazione positiva il denominatore diventa 1 − G·H. Una reazione non unitaria si riporta a unitaria mettendo 1H a monte e G·H nell'anello.

  1. Spostare un sommatore oltre un blocco A: bisogna riportare il segnale sommato moltiplicato per 1A o per A, a seconda del verso.
  2. Spostare una connessione (un prelievo di segnale) oltre un blocco: stessa idea, con il blocco inverso sul ramo spostato.

Esempio della dispensa

A e B in parallelo, poi C, con reazione D sull'uscita: yr = (A + B)·C1 + C·D. L'esercizio 4 lo svolge con numeri.

Video 2: gli esercizi svolti

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3 min 56 s: cinque esercizi svolti, dall'integratore al serbatoio non lineare

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Benvenuti su Zerospoles. In questa lezione svolgiamo cinque esercizi sui modelli di sistemi dinamici. Cominciamo dall'integratore e dal partitore con elementi parassiti. Poi massa, molla e smorzatore, gli schemi a blocchi e il serbatoio non lineare. Il codice MATLAB per controllare ogni risultato è nella pagina del sito.

Esercizio 1: l'integratore

Primo esercizio. Un serbatoio con sezione zero virgola cinque metri quadri, portata costante zero virgola uno metri cubi al secondo, altezza iniziale zero virgola tre metri. Lo stato è l'altezza, quindi x punto è uno su A per u, cioè due per u. La funzione di trasferimento è due su s: un integratore puro. Con ingresso costante, l'altezza cresce di zero virgola due metri al secondo: h di t è zero virgola tre più zero virgola due t. Dopo dieci secondi, il livello è di due virgola tre metri.

Esercizio 2: partitore con parassiti

Secondo esercizio: il partitore con elementi parassiti. Induttanza uno henry, resistenza R uno tre ohm, condensatore zero virgola cinque farad in parallelo a una resistenza R due di due ohm. L'uscita è la tensione sul condensatore. Gli stati sono la corrente nell'induttanza e la tensione sul condensatore. Dalla legge di Kirchhoff alla maglia: x uno punto è uguale a meno tre x uno, meno x due, più u. Dal nodo del condensatore: x due punto è uguale a due x uno, meno x due. Le matrici sono: A, meno tre, meno uno, due, meno uno. B, uno, zero. C, zero, uno. E D è nulla. La funzione di trasferimento è due diviso s al quadrato più quattro s più cinque. I poli sono meno due, più o meno j: il sistema è stabile. Il guadagno statico è zero virgola quattro, cioè R due su R uno più R due, come nel partitore ideale.

Esercizio 3: massa, molla, smorzatore

Terzo esercizio. Massa uno, smorzamento tre, rigidezza due. L'ingresso è la forza, l'uscita è la posizione. Gli stati sono la posizione x uno e la velocità x due. Quindi x uno punto è uguale a x due, e x due punto è uguale a meno due x uno, meno tre x due, più u. Le matrici sono: A, zero, uno, meno due, meno tre. B, zero, uno. C, uno, zero. La funzione di trasferimento è uno diviso s più uno, per s più due. I poli sono meno uno e meno due, gli autovalori di A: il sistema è stabile.

Esercizio 4: schemi a blocchi

Quarto esercizio. A e B uguali a uno su s, in parallelo. Poi C uguale a tre su s più uno, con reazione negativa D uguale a uno. Il parallelo vale due su s. L'anello, C diviso uno più C D, vale tre su s più quattro. In cascata, y su r è sei diviso s per s più quattro. I poli sono zero e meno quattro: c'è un integratore, quindi il sistema non è asintoticamente stabile.

Esercizio 5: serbatoio con efflusso

Quinto esercizio. Serbatoio di sezione due metri quadri, con efflusso k per la radice di h, e k uguale a zero virgola cinque. L'ingresso è uno metro cubo al secondo. All'equilibrio la derivata è nulla: u è uguale a zero virgola cinque per la radice di h zero. Quindi la radice vale due, e la quota di equilibrio è quattro metri. Vicino all'equilibrio, la derivata rispetto a h è meno zero virgola cinque diviso due per due per la radice di h zero: meno zero virgola zero seicentoventicinque. La costante di tempo è l'inverso: sedici secondi. Il livello si assesta in circa tre volte tanto, quarantotto secondi.

Prova tu

Adesso prova tu. A uguale a zero, uno, meno sei, meno cinque. B, zero, uno. C, uno, zero. Trova la funzione di trasferimento e i poli, e dì se il sistema è stabile. La soluzione è nella pagina del sito. Grazie, e alla prossima su Zerospoles.

Esercizi svolti

Esercizio 1 · Integratore

Serbatoio e condensatore: lo stesso modello

Serbatoio con sezione A = 0,5 m², portata in ingresso u costante = 0,1 m³/s, altezza iniziale 0,3 m. Trova il modello di stato e l'altezza dopo 10 s.
  1. Legge del volume. A·h = u.
  2. Stato. Si pone x = h: x = 1A·u = 2·u. Con y = x: A = 0, B = 2, C = 1, D = 0.
  3. Funzione di trasferimento. G(s) = 2s: un integratore puro.
  4. Con ingresso costante. x = 2·0,1 = 0,2 m/s, quindi h(t) = 0,3 + 0,2·t.
  5. Dopo 10 s. h(10) = 0,3 + 0,2·10 = 2,3 m.
Risultato: x = 2·u, G(s) = 2/s, h(10) = 2,3 m. Un condensatore con C = 0,5 F alimentato da una corrente ha lo stesso modello.

Codice MATLAB per controllare:

A = 0.5;
G = tf(1/A, [1 0])      % integratore 2/s
t = 0:0.1:10;
h = 0.3 + lsim(G, 0.1*ones(size(t)), t);
h(end)                  % altezza a t = 10 s
G = 2 - s Continuous-time transfer function. ans = 2.3000
Esercizio 2 · Forma di stato

Partitore con elementi parassiti

Ingresso u (tensione), induttanza L = 1 H e resistenza R1 = 3 Ω in serie, poi condensatore C = 0,5 F in parallelo a R2 = 2 Ω. Uscita: tensione sul condensatore. Trova A, B, C, D.
  1. Stati. x1 = i (corrente nell'induttanza) e x2 = V (tensione sul condensatore). Uscita y = x2.
  2. Kirchhoff alla maglia. u = x2 + L·x1 + R1·x1, quindi x1 = −3·x1 − x2 + u.
  3. Nodo del condensatore. x1 = C·x2 + x2R2, quindi x2 = 2·x1 − x2.
  4. Matrici. A = −3−12−1, B = 10, C = 01, D = 0.
  5. Funzione di trasferimento. G(s) = 2s2 + 4s + 5. Poli in −2 ± j: parte reale negativa, quindi stabile. Guadagno statico G(0) = 2/5 = 0,4 = R2R1 + R2: torna col partitore ideale.
Risultato: A = −3−12−1, B = (1, 0)T, C = (0, 1), D = 0.

Codice MATLAB per controllare:

A = [-3 -1; 2 -1];
B = [1; 0];
C = [0 1];
D = 0;
eig(A)                       % poli
[num, den] = ss2tf(A, B, C, D)
dcgain(ss(A, B, C, D))       % guadagno statico
ans = -2.0000 + 1.0000i -2.0000 - 1.0000i num = 0 0 2 den = 1 4 5 ans = 0.4000
Esercizio 3 · Da stato a funzione di trasferimento

Sistema massa, molla e smorzatore

m·x″ + c·x′ + k·x = F, con m = 1, c = 3, k = 2. Ingresso u = F, uscita y = posizione x. Scrivi il modello di stato e trova G(s) e i poli.
  1. Stati. x1 = x (posizione), x2 = x′ (velocità).
  2. Equazioni. x1 = x2 e x2 = −2·x1 − 3·x2 + u.
  3. Matrici. A = 01−2−3, B = 01, C = 10, D = 0.
  4. Funzione di trasferimento. sI − A = s−12s + 3 con determinante s2 + 3s + 2. Il termine in posizione (1,2) di (sI − A)−1 è 1s2 + 3s + 2.
  5. Poli. s2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2): s = −1 e s = −2. Sono gli autovalori di A: il sistema è stabile e la risposta somma due esponenziali che si spengono.
Risultato: G(s) = 1(s + 1)(s + 2), poli in −1 e −2. Per la risposta nel tempo si antitrasforma come nella pagina su Laplace.

Codice MATLAB per controllare:

A = [0 1; -2 -3];
B = [0; 1];
C = [1 0];
D = 0;
eig(A)
[num, den] = ss2tf(A, B, C, D)
ans = -1 -2 num = 0 0 1 den = 1 3 2
Esercizio 4 · Schemi a blocchi

Parallelo, cascata e reazione

A = 1/s, B = 1/s in parallelo, poi C = 3/(s + 1), con reazione negativa D = 1 sull'uscita. Trova y/r.
  1. Formula. yr = (A + B)·C1 + C·D.
  2. Parallelo. A + B = 2s.
  3. Anello. C1 + C·D = 3/(s + 1)1 + 3/(s + 1) = 3(s + 1) + 3 = 3s + 4.
  4. Cascata. yr = 2s·3s + 4 = 6s(s + 4).
  5. Poli. s = 0 e s = −4: un integratore, quindi un polo sull'asse immaginario. Il sistema non è asintoticamente stabile.
Risultato: yr = 6s2 + 4s.

Codice MATLAB per controllare:

s = tf('s');
A = 1/s;  B = 1/s;
C = 3/(s + 1);  D = 1;
G = (A + B) * feedback(C, D)
G = 6 --------- s^2 + 4 s Continuous-time transfer function.
Esercizio 5 · Modello non lineare

Serbatoio con efflusso

A = 2 m² costante, y = k·√h con k = 0,5. Ingresso u = 1 m³/s costante. Trova la quota di equilibrio e quanto è lenta la risposta vicino all'equilibrio.
  1. Modello. h = u − 0,5·√h2: non lineare per la radice.
  2. Equilibrio. Si impone h = 0: u = 0,5·√h0, quindi √h0 = 2 e h0 = 4 m. A regime la portata in uscita eguaglia quella in ingresso.
  3. Vicino all'equilibrio. Si sviluppa al primo ordine: ∂∂h(u − 0,5·√h2) = −0,52·2·√h0 = −0,0625.
  4. Costante di tempo. Lo scarto δh obbedisce a δh = −0,0625·δh + 0,5·δu: un sistema del primo ordine con τ = 10,0625 = 16 s.
Risultato: h0 = 4 m e τ = 16 s: il livello si assesta in circa 3τ = 48 s.

Codice MATLAB per controllare:

f = @(h, u) (u - 0.5*sqrt(h)) / 2;
h0 = fzero(@(h) f(h, 1), 5)       % equilibrio
a = -0.5 / (2*2*sqrt(h0))          % pendenza vicino all'equilibrio
tau = -1/a                         % costante di tempo
[t, h] = ode45(@(t, h) f(h, 1), [0 80], 1);
plot(t, h)
h0 = 4.0000 a = -0.0625 tau = 16.0000
Prova tu

Da stato a funzione di trasferimento

A = [0 1; −6 −5], B = [0; 1], C = [1 0], D = 0

Trova la funzione di trasferimento e i poli, poi dì se il sistema è stabile.

Mostra la soluzione
  1. Determinante. det(sI − A) = s(s + 5) + 6 = s2 + 5s + 6.
  2. Funzione di trasferimento. G(s) = 1s2 + 5s + 6 = 1(s + 2)(s + 3).
  3. Poli. −2 e −3, entrambi a sinistra: il sistema è stabile.
  4. Controllo. Il polinomio ha lo stesso aspetto dell'esercizio 3: nella seconda riga di A compaiono i coefficienti cambiati di segno, −6 e −5.

Come si lega a Laplace e Routh

Una volta scritto il modello, la trasformata di Laplace lo rende algebrico e dà la funzione di trasferimento. I poli di G(s) decidono la stabilità: per controllarli senza calcolarli usa il criterio di Routh.

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