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Esercizi svolti › Laplace

Trasformata di Laplace

Da equazione differenziale ad algebra: come trasformare, risolvere e tornare indietro. Cinque esercizi svolti passo passo, a mano, e per ognuno il codice MATLAB per controllare il risultato.

Da salvare: la tabella e le regole

f(t), t ≥ 0F(s)
1 (gradino)1/s
t1/s²
e−at1/(s + a)
sin(ωt)ω/(s² + ω²)
cos(ωt)s/(s² + ω²)
e−at·f(t)F(s + a)
  1. Linearità. L{a·f + b·g} = a·F(s) + b·G(s).
  2. Derivata. L{f′} = s·F(s) − f(0) e L{f″} = s²·F(s) − s·f(0) − f′(0).
  3. Valore finale. Se i poli di s·F(s) stanno a sinistra: f(∞) = lim s→0 s·F(s).
  4. Valore iniziale. f(0⁺) = lim s→∞ s·F(s).
  5. Antitrasformata. Si scompone F(s) in fratti semplici e si usa la tabella al contrario.
Esercizio 1 · Trasformata diretta

Trasforma una somma di segnali

f(t) = 3e−2t + 5 sin(4t)
  1. Linearità. Si trasforma un termine alla volta: L{f} = 3·L{e⁻²ᵗ} + 5·L{sin 4t}.
  2. Primo termine. L{e⁻²ᵗ} = 1/(s + 2), quindi diventa 3/(s + 2).
  3. Secondo termine. L{sin 4t} = 4/(s² + 16), quindi diventa 20/(s² + 16).
Risultato: F(s) = 3/(s + 2) + 20/(s² + 16).

Codice MATLAB per controllare:

syms t s
f = 3*exp(-2*t) + 5*sin(4*t);
F = laplace(f, t, s)
F = 3/(s + 2) + 20/(s^2 + 16)
Esercizio 2 · Antitrasformata

Fratti semplici con poli reali

F(s) = (5s + 7) / ((s + 1)(s + 2))
  1. Scomposizione. Si cerca F(s) = A/(s + 1) + B/(s + 2).
  2. Residuo A. Si moltiplica per (s + 1) e si pone s = −1: A = (5·(−1) + 7)/(−1 + 2) = 2/1 = 2.
  3. Residuo B. Si moltiplica per (s + 2) e si pone s = −2: B = (5·(−2) + 7)/(−2 + 1) = (−3)/(−1) = 3.
  4. Tabella al contrario. 2/(s + 1) → 2e⁻ᵗ e 3/(s + 2) → 3e⁻²ᵗ.
  5. Controllo. f(0⁺) = lim s→∞ s·F(s) = 5 e 2 + 3 = 5. Torna.
Risultato: f(t) = 2e⁻ᵗ + 3e⁻²ᵗ, per t ≥ 0.

Codice MATLAB per controllare:

num = [5 7];
den = conv([1 1], [1 2]);      % (s+1)(s+2)
[r, p, k] = residue(num, den)   % residui r, poli p
r = 3 2 p = -2 -1 k = []

Ogni residuo va col suo polo: 3 con −2, 2 con −1. Con la versione simbolica:

syms s t
f = ilaplace((5*s + 7)/((s + 1)*(s + 2)), s, t)
f = 2*exp(-t) + 3*exp(-2*t)
Esercizio 3 · Equazione differenziale

Con condizioni iniziali e ingresso a gradino

y″ + 3y′ + 2y = 1(t), y(0) = 0, y′(0) = 1
  1. Trasforma ogni termine. s²Y − s·y(0) − y′(0) = s²Y − 1, poi 3(sY − y(0)) = 3sY, poi 2Y. A destra 1/s.
  2. Equazione algebrica. (s² + 3s + 2)·Y − 1 = 1/s, quindi (s² + 3s + 2)·Y = 1 + 1/s = (s + 1)/s.
  3. Risolvi per Y. Con s² + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2): Y = (s + 1) / (s (s + 1)(s + 2)). Il fattore (s + 1) si semplifica: Y = 1/(s (s + 2)).
  4. Fratti semplici. Y = 1/(2s) − 1/(2(s + 2)).
  5. Antitrasforma. y(t) = 1/2 − (1/2)e⁻²ᵗ.
  6. Controllo. y(0) = 1/2 − 1/2 = 0. y′(0) = e⁰ = 1. y(∞) = 1/2. Tutto coerente.
Risultato: y(t) = (1 − e⁻²ᵗ)/2.

Codice MATLAB per controllare:

syms y(t)
Dy = diff(y, t);
eq = diff(y, t, 2) + 3*diff(y, t) + 2*y == 1;
cond = [y(0) == 0, Dy(0) == 1];
sol = dsolve(eq, cond)
sol = 1/2 - exp(-2*t)/2
Esercizio 4 · Risposta al gradino

Da funzione di trasferimento a segnale

G(s) = 10 / (s² + 2s + 10), ingresso gradino unitario
  1. Uscita. Y(s) = G(s)·(1/s) = 10 / (s (s² + 2s + 10)).
  2. Poli. s² + 2s + 10 = 0 dà s = −1 ± 3j: parte reale negativa, quindi stabile e oscillazione smorzata.
  3. Fratti semplici. Y = 1/s − (s + 2)/(s² + 2s + 10).
  4. Completa il quadrato. s² + 2s + 10 = (s + 1)² + 9 e s + 2 = (s + 1) + 1. Quindi (s + 2)/((s + 1)² + 9) = (s + 1)/((s + 1)² + 9) + (1/3)·3/((s + 1)² + 9).
  5. Tabella con traslazione. y(t) = 1 − e⁻ᵗ (cos 3t + (1/3) sin 3t).
  6. Valore finale. y(∞) = lim s→0 s·Y(s) = 10/10 = 1: l'uscita si assesta sull'ingresso.
Risultato: y(t) = 1 − e⁻ᵗ (cos 3t + (1/3) sin 3t), con valore finale 1.

Codice MATLAB per controllare:

G = tf(10, [1 2 10]);
pole(G)           % poli
dcgain(G)         % valore finale per il gradino
step(G)           % grafico della risposta
ans = -1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i ans = 1
Prova tu

Antitrasforma da solo

F(s) = (s + 3) / (s (s + 1))

Trova f(t) con i fratti semplici, poi controlla con il valore finale.

Mostra la soluzione
  1. Scomposizione. F = A/s + B/(s + 1).
  2. Residui. A = (0 + 3)/(0 + 1) = 3 e B = (−1 + 3)/(−1) = −2.
  3. Antitrasformata. f(t) = 3 − 2e⁻ᵗ.
  4. Controllo. f(∞) = lim s→0 s·F(s) = 3 e f(0) = 3 − 2 = 1 = lim s→∞ s·F(s).

Come si lega a Routh

I poli di G(s) sono i numeri che compaiono negli esponenti: parte reale negativa vuol dire esponenziale che si spegne. Per sapere se tutti i poli stanno a sinistra, senza calcolarli, usa il criterio di Routh.